Il calibro aureo è uno strumento utile e divertente per cercare proporzioni auree nel nostro corpo, nella natura intorno a noi, nelle opere d’arte e in qualunque oggetto costruito dall’uomo. Di alcuni casi in natura ne abbiamo parlato qui, per esempio.
La costruzione che vi presento in questo articolo è abbastanza facile. Si può proporre nella scuola secondaria di primo grado e in quella di secondo grado.
La dimostrazione matematica è leggermente più difficile perché richiede di risolvere un’equazione di secondo grado, perciò:
- nella scuola secondaria di primo grado si può presentare la proporzione e fornire direttamente il risultato arrotondato che è φ = 1,618;
- nella scuola secondaria di secondo grado conviene risolvere l’equazione e approfondire il discorso sul numero aureo.
Cos'è la sezione aurea di un segmento
La sezione aurea di un segmento è la divisione del segmento stesso in due parti tali che la parte maggiore sia media proporzionale tra l’intero segmento e la parte minore.
(a + b) : a = a : b
Questa proporzione geometrica, si può chiamare in vari modi:
- proporzione aurea
- sezione aurea
- divina proporzione.
Il rapporto a : b, che è uguale al rapporto (a + b) : a, si chiama:
- numero aureo
- rapporto aureo
ed è indicato con la lettera greca φ (phi minuscola).
Quindi abbiamo che:
a : b = φ
(a + b) : a = φ
COME SI CALCOLA E QUANTO VALE φ
Per semplificarci la vita, poniamo b = 1, cioè prendiamo b come unità di misura.
Allora, la proporzione aurea diventa:
(φ + 1) : φ = φ : 1
Da cui:
φ2 = φ + 1
φ2 – φ – 1 = 0
Risolvendo l’equazione rispetto a φ si trova la seguente soluzione positiva:
L’altra soluzione è negativa.
Il nostro segmento allora diventa:
Come costruire un calibro aureo
Materiale e attrezzatura
- Un’assicella di legno di 10 mm x 5 mm lunga 1 m
- Quattro bulloni 18 mm x 3 mm con relativi dadi e 8 rondelle
- Seghetto, trapano con punta per legno di diametro 3 mm, matita, cacciavite, metro
Esecuzione
In pratica, dovete tagliare le assicelle, forarle e assemblarle come mostrato nella figura qui sotto.
L’unica difficoltà è quella di tagliare e forare le aste rispettando le misure con la massima precisione possibile.
- Tagliate le due aste lunghe (AE, AG) un po’ più lunghe di 340 mm in modo da ospitare il foro nel punto A.
Le distanze AE = AG = 340 mm devono essere precise. - Tagliate l’asta media CF un po’ più lunga di 210 mm in modo da ospitare il foro nel punto C.
La distanza CF = 210 mm deve essere precisa. - Tagliate l’asta corta BD un po’ più lunga di 130 mm in modo da ospitare i fori nei punti B e D.
La distanza CD = 130 mm deve essere precisa. - Tagliate a punta le aste nei punti E, F, G e praticate tutti i fori rispettando le seguenti distanze:
AE = AG = 340 mm
CF = 210 mm
DF = 80 mm
AB = AC = BD = CD = 130 mm - Usate un metro per collaudare il calibro.
Verificate che i rapporti tra le distanze FG ed EF si mantengono a varie aperture del calibro.
FG/EF = φ (circa)
EG/FG = φ (circa)
Ripeto: le misure indicano le distanze tra due fori o tra un foro e una punta. Le aste devono essere un po’ più lunghe.
Volete un calibro aureo più grande o più piccolo?
Se volete, potete costruire un calibro più grande o più piccolo di quello che vi ho proposto. Basta moltiplicare tutte le misure per una costante, in base alle vostre esigenze.
Volete un calibro aureo di precisione?
Se invece volete un calibro più preciso, per esempio per misurare fiori, dovete costruirlo di metallo e modificare la forma delle aste in modo che le loro punte partano da una distanza uguale a zero.
In internet si trovano alcune varianti di questo strumento, basta cercare con la chiave “golden section gauge“.
Usare il calibro per cercare proporzioni auree nel corpo umano
Dall’antichità ai giorni nostri, gli artisti considerano la proporzione aurea un ideale di bellezza, forse perché è presente nel corpo umano.
Ecco alcuni esempi.
Il braccio umano è formato da una serie di segmenti in rapporto aureo fra di loro come illustrato nelle seguenti figure.
Possiamo usare il calibro anche a distanza per misurare oggetti sempre più grandi.
Per valutare correttamente le proporzioni dobbiamo:
- tenere la linea delle tre punte parallela all’oggetto;
- osservare con un occhio solo oppure scattare una fotografia.
L’ombelico divide l’altezza del corpo umano in due parti in rapporto aureo.
La punta del naso divide il volto in due parti in rapporto aureo.
Il volto umano si può inscrivere in un rettangolo aureo.
Usare il calibro per cercare proporzioni auree nelle opere d'arte
Quando vedete un dipinto che vi ispira istintivamente una sensazione di bellezza ed equilibrio, quasi sempre esso contiene proporzioni auree nella divisione degli spazi e nella posizione dei soggetti.
Il calibro aureo è molto utile per scoprire tali proporzioni, come illustrato negli esempi seguenti.
Per fare delle prove, non è indispensabile avere la stampa su carta perché il calibro si può usare direttamente sullo schermo del tablet o del computer.
Per motivi di copyright, ho scelto alcune opere d’arte rilasciate nel pubblico dominio. In internet si trovano facilmente moltissime immagini anche migliori di queste.
Usare il calibro per comporre un disegno
Il calibro aureo è utile anche per impostare le proporzioni quando volete fare un disegno o scattare una fotografia. Poiché non sono bravo a disegnare, vi propongo un esempio semplicissimo ispirandomi ai dipinti che abbiamo già esaminato. Dobbiamo semplicemente sistemare quattro elementi: mare, cielo, barca e sole in un foglio rettangolare.
- Nella figura 1, ho seguito la regola della metà: metà mare, metà cielo, la barca in mezzo al mare e il sole in mezzo a un quadrante.
- Nella figura 2, ho spostato di poco gli oggetti usando le proporzioni auree come indicato dai calibri disegnati.
La figura 2, nella sua semplicità, appare più “bella” e proporzionata della figura 1. Voi che ne pensate?
Usare il calibro per scoprire proporzioni auree negli oggetti di design
Molti oggetti disegnati per essere prodotti in serie, da una piccola penna a un’automobile, contengono proporzioni auree. Probabilmente attirano la nostra attenzione per la loro somiglianza con il corpo umano.
Vi propongo solo un esempio particolarmente significativo.
La vostra collaborazione
Quando si parla di cose apparentemente semplici ma in realtà complesse, gli errori sono sempre in agguato! Perciò, invito i lettori e i colleghi insegnanti di scienze a segnalarmi gli errori e i passaggi incompleti o poco chiari che avete eventualmente notato in questo articolo. Vi invito anche a segnalarmi nuovi esperimenti, idee e punti di vista che non ho considerato.
Continua...
Nella seconda parte di questo articolo risponderemo a due domande:
- Come e perché funziona il calibro aureo?
- Come realizzare un calibro aureo digitale, che funzioni sullo schermo del computer?
Credit: questo articolo è tratto e adattato dal sito web “BASE Cinque – Appunti di matematica ricreativa“, di Gianfranco Bo.
