Nel post precedente avevamo preso in considerazione una proprietà semplice ma sorprendente del triangolo equilatero: il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio del raggio della circonferenza inscritta. Ci eravamo posti delle domande e qui pubblichiamo le risposte.
Domanda 1.
Provate a dimostrarlo mentalmente, basandovi sulla figura qui sotto
- Il centro della circonferenza inscritta è il punto d’incontro delle bisettrici.
- Il centro della circonferenza circoscritta è il punto d’incontro degli assi.
- In un triangolo equilatero ogni bisettrice è anche asse e mediana.
- Quindi la circonferenza inscritta e quella circoscritta hanno lo stesso centro.
- In particolare, il centro è anche punto d’intersezione delle mediane.
- Le mediane di un triangolo si tagliano in parti proporzionali a 1 e 2.
- Quindi, in un triangolo equilatero, la distanza del centro da un vertice (OA) è il doppio della distanza del centro da un lato (OH).
OH : OA = 1 : 2 - OH = raggio della circonferenza inscritta = apotema del triangolo
OA = raggio della circonferenza circoscritta = raggio del triangolo
OA = 2OH
Domanda 2.
Prendete come unità il raggio della circonferenza inscritta e calcolate le seguenti misure.
Triangolo equilatero
circoscritto a una circonferenza di raggio 2
| apotema | 1 |
| raggio | 2 |
| altezza | 3 |
| lato | 2√3 |
| area cerchio inscritto | π |
| area cerchio circoscritto | 4π |
| area del triangolo | 3√3 |
In generale: l’area del cerchio circoscritto a un triangolo equilatero è il quadruplo dell’area del cerchio inscritto.
Domanda 3.
Dimostrate che la parte colorata di verde è equivalente alla parte colorata di giallo (cioè ha la stessa area).
giallo = verde
Usiamo il fatto che l’area del cerchio grande è il quadruplo dell’area de cerchio piccolo, giallo.
- Indichiamo: area cerchio giallo = c.
- L’area del cerchio grande è 4c.
- Indichiamo con T l’area del triangolo.
- Area punta verde = (T – c)/3.
- Area segmento circolare verde = (4c – T)/3
- Area totale verde = (T – c + 4c – T)/3 = 3c/3 = c
- Meravigliosamente, senza calcolare nessuna area, abbiamo:
Area verde = c = area gialla.
Domanda 4.
Usate l’uguaglianza dimostrata nella domanda 3 per dimostrare che le aree gialla e verde messe assieme sono uguali all’area bianca.
giallo + verde = bianco
Dimostrazione con riscrittura.
Ecco per esempio una dimostrazione basata quasi esclusivamente su un sistema di riscrittura formale.
- definizione 1: verde = (a + b)
- definizione 2: giallo = c
- dato: (a + b) = c
Dimostrazione.
- osservazione: bianco = (a + b) + (a + b)
- sostituzione (usando il dato): bianco = (a + b) + c
- sostituzione (usando la def. 1): bianco = verde + c
- sostituzione (usando def. 2): bianco = verde + giallo
C.V.D.
Una giustificazione.
Se vogliamo giustificare l’inserimento delle lettere a, b, c, nella figura precedente, possiamo usare la simmetria rotazionale.
Infatti, una rotazione di 120° intorno al centro porta la punta verde e il segmento circolare verde nelle parti bianche corrispondenti.
Con 2 rotazioni di +120° e -120°, la parte verde copre tutto il bianco, come mostrato nelle figure seguenti. E come bonus possiamo dedurre che il verde è metà del bianco.
Grazie a Francesco C. per questa osservazione.
Pace e bene a tutti!
GfBo
Foto cover: taffpixture / Shutterstock
Ilustrazioni: Gianfranco Bo
L’articolo è pubblicato anche su BASE Cinque.
