Cari amici, l’articolo dedicato alle pigne e i numeri di Fibonacci che vi ho proposto qualche tempo fa si concludeva con questa immagine:
Le brattee di questa pigna formano spirali auree.
A gentile richiesta, vi propongo alcune attività a vari livelli scolastici per approfondire i seguenti argomenti:
- Cos’è la spirale aurea?
- Come si può disegnarla con metodi antichi e moderni?
- Dove si trova in natura?
Cos'è la spirale aurea?
La spirale aurea è un tipo di spirale logaritmica.
La sua equazione in coordinate polari è:
dove:
- φ (phi minuscolo) è il numero aureo = 1,618…;
- a è un coefficiente che serve a ingrandire o ridurre il grafico della spirale.
Le equazioni parametriche, da usare per le coordinate cartesiane, invece sono:
Come si disegna una spirale aurea?
1. Con riga, compasso e i numeri di Fibonacci (scuola elementare-media)
Si comincia disegnando una struttura a spirale di quadrati come illustrato nelle figure seguenti.
Le misure dei lati dei quadrati sono numeri successivi della sequenza di Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …).
Fate il disegno a mano libera su un foglio di carta a quadretti. Usate il righello solo per il quadrato più grande.
1. Il primo quadratino ha per lato un quadretto.
2. Poi disegnate un quadrato uguale a fianco del primo.
3. Poi disegnate un quadrato di lato due quadretti sotto i primi due quadratini.
4. Ora un quadrato di lato 3…
5. …e uno di lato 5…
6. …e uno di lato 8…
Ancora due quadrati di lati 13 e 21.
La costruzione può andare avanti all’infinito ma ci fermiamo qui perché abbiamo raggiunto la grandezza del foglio.
Per disegnare la spirale, usate il compasso come illustrato nelle figure seguenti.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ancora due archi…
ATTENZIONE!
La figura ottenuta con questo metodo è bella ma è solo un’approssimazione della spirale aurea. La vera spirale NON è formata da archi di circonferenza ma si può immaginare come una specie di circonferenza in cui il raggio aumenta secondo una determinata legge matematica.
Per la precisione una spirale logaritmica si può ottenere immaginando una semiretta che ruota uniformemente intorno alla propria origine e un punto su di essa che si allontana dall’origine con accelerazione costante. La traiettoria del punto in movimento è, appunto, una spirale logaritmica (vedi la figura qui sotto).
2. Con un programma di geometria dinamica (scuola media)
Con C.a.R. – Compass and Ruler si può realizzare facilmente la costruzione che abbiamo appena visto.
La figura seguente illustra gli elementi principali del disegno.
C.a.R – Compass and Ruler è un programma scritto in Java, ricco di funzionalità, libero e open source. Il file .jar occupa solo 2,16 Mb.
3. Con il foglio elettronico (scuola superiore)
Con Excel si può creare una tabella di alcuni (molti) punti della spirale in coordinate polari e convertirle in coordinate cartesiane.
Poi si imposta un grafico a dispersione con linee smussate e indicatori.
Nella figura seguente sono visualizzate le formule. Basta scrivere una sola riga di formule e ripeterla con il copia e incolla.
4. Con un linguaggio di programmazione educational
Ho provato a fare un mini-programma con il linguaggio Scratch ma ho incontrato subito una difficoltà: non c’è l’elevamento a potenza!
Ok, si può creare una nuova funzione, ma ho preferito usare Snap! che non ha questo problema.
Per capire il programmino, tenete conto che:
- in Snap! le misure degli angoli sono espresse in gradi sessagesimali;
- le variabili a e traslx servono soltanto a ingrandire e centrare la spirale nello schermo.
5. Un piccolo esercizio con Scratch
Abbiamo visto che Scratch non ha nativamente l’operazione di elevamento a potenza del tipo ab.
Però ha ex, 10x, ln(x), log(x) che si trovano nel blocco:
Nasce quindi il seguente problema.
Scrivere un algoritmo (o una funzione) che:
- dati i numeri reali a, b;
- calcoli ab;
- avendo a disposizione le quattro operazioni aritmetiche e le funzioni ex, 10x, ln(x), log(x).
Si può risolvere in diversi modi. Qual è il vostro?
Un confronto
Che differenza c’è fra la spirale approssimata con il compasso e quella esatta?
Nella figura qui sotto la linea ROSSA è la spirale approssimata che abbiamo disegnato prima, mentre la linea BLU è la vera spirale aurea ottenuta con Snap! (ruotata e ingrandita).
Come si vede, le differenze sono davvero minime.
La spirale aurea in natura
Ecco un’attività che potete svolgere voi stessi e/o proporre ai vostri studenti.
Mettete la spirale aurea in un angolino della vostra mente e lasciatela sempre attiva. Quando vi capita di vedere una spirale in natura, osservatela, fotografatela, confrontatela con la forma della spirale aurea. Cercatela anche negli oggetti più piccoli e umili. Dedicate un archivio alle fotografie che avete scattato. Vi sarà senz’altro utile.
Provate a spiegarvi dove, come e perché in natura si formano spirali auree o più in generale logaritmiche.
Per esempio, oggi mi è apparsa la spirale aurea mentre tagliavo un radicchio rosso. C’è anche il numero 5 che è un numero di Fibonacci.
Ecco altri esempi.
Per (non) concludere
Il rettangolo aureo
Un rettangolo aureo è un rettangolo in cui il rapporto fra il lato maggiore e quello minore è uguale al numero aureo φ.
Quando disegniamo la spirale di quadrati usando i numeri di Fibonacci, otteniamo una sequenza di rettangoli che approssimano sempre meglio un rettangolo aureo.
Con 4 aste di legno e 4 viti possiamo costruire un calibro aureo, strumento che serve per scoprire le proporzioni auree intorno a noi.
Ma questa è un’altra storia.
Pace e bene a tutti!
Crediti
- C.a.R. – Compass and Ruler is free and open source. The main author of the program is Rene Grothmann Prof. of Mathematics at the University of Eichstätt-Ingolstadt. Il programma è disponibile gratuitamente sul sito https://car.rene-grothmann.de/
doc_en/index.html - Microsoft Excel © 2019 Microsoft. Used with permission from Microsoft
- Snap! è una estensione di Scratch: https://en.scratch-wiki.info/
wiki/Snap!_(programming_ language) Snap! is presented by the University of California at Berkeley. It is developed by Jens Mönig at SAP, with design input and documentation by Brian Harvey at UC Berkeley, and contributions by students at UC Berkeley and elsewhere.https://snap.berkeley.edu/ about - Scratch è un progetto del Lifelong Kindergarten Group dei Media Lab del MIT di Boston. È disponibile gratuitamente sul sito https://scratch.mit.edu
