La settimana scorsa vi ho proposto la prima parte di un articolo in cui tratto una famiglia di problemi che ha a che fare con un concetto importante di geometria piana: l’area è una misura additiva. Anche il perimetro è una misura additiva, ma si comporta in modo diverso da quello dell’area. Per esempio, se uniamo due quadrati lungo un lato, le loro aree si sommano mentre il perimetro della loro unione NON è uguale alla somma dei loro perimetri.
I problemi proposti possono aiutare a comprendere meglio questo aspetto e a non commettere errori banali quando si usa l’additività delle misure.
Dopo aver visto gli esercizi nella prima parte, approfondiamo qui il tema con una serie di riflessioni.
1) Quando l’area è additiva e il perimetro no
Consideriamo un quadrato di lato 5 unità.
La sua area è 25 unità2.
Il suo perimetro è 20 unità.
(d’ora in avanti ometterò le unità di misura)
Immaginiamo di unire 2 di questi quadrati lungo un lato.
Quanto misurano l’area e il perimetro del rettangolo ottenuto?
In questo caso:
- Le aree dei due quadrati si sommano.
- I loro perimetri invece non si sommano perché 2 lati coincidenti dei quadrati non fanno parte del perimetro del rettangolo.
2) Quando non si applica l’additività dell’area
Questa proprietà vale quando i due quadrati (o altri poligoni) sono uniti lungo uno o più lati o parte di essi.
La proprietà non vale quando i poligoni hanno superfici in comune.
3) Un caso limite
Quando i due quadrati (o altri poligoni) sono uniti solo per un punto, sia l’area, sia il perimetro sono additivi.
4) Il concetto di misura (o funzione) additiva
Ancora un piccolo pro-memoria molto semplice.
Consideriamo due poligoni P e Q non sovrapposti.
Nella figura seguente sono uniti fra loro soltanto lungo una parte del perimetro di ciascuno. Ricordiamo che l’area di un segmento è uguale a 0.
La loro unione forma un nuovo poligono che chiamiamo P ∪ Q
Indichiamo con area(X) la funzione area che associa al poligono X un numero reale non negativo che rappresenta la misura della sua superficie.
Abbiamo che:
area(P ∪ Q) = area(P) + area(Q)
—
In generale, una misura m è additiva quando:
Dati due insiemi disgiunti, la misura della loro unione è uguale alla somma delle misure dei due insiemi.
Se P ∩ Q = ∅
allora
m(P ∪ Q) = m(P) + m(Q)
Nella prossima e ultima parte vedremo le soluzioni!
PS: Abbiamo pubblicato anche la soluzione!
Illustrazioni: Gianfranco Bo – Foto cover: Vector Art Space / Shutterstock
