Qualche settimana fa vi ho proposto il seguente problema.
Sulla lavagna sono scritti i numeri da 1 a 10.
Scegli due numeri a caso, a, b, cancellali e scrivi il numero dato dalla loro somma meno 1, cioè (a + b − 1).
Ora ci sono 9 numeri sulla lavagna.
Ripeti la procedura: scegli due numeri a caso, cancellali e scrivi il numero dato dalla loro somma meno 1.
Ora ci sono 8 numeri sulla lavagna.
Ripeti la procedura fino a quando rimane un solo numero.
Che numero è?
Nella figura c’è un esempio del primo passaggio.
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Buon divertimento!
GfBo
L’avete risolto? Ecco la soluzione!
SOLUZIONE
Problemi come questo erano molto diffusi nei Circoli Matematici creati in Russia da studenti, professori e matematici professionisti.
È un classico problema di invarianza. In qualunque ordine si scelgano i numeri, il risultato è sempre 46, cioè la somma dei numeri interi da 1 a 10 meno 9:
55 – 9 = 46
Potete risolverlo in vari modi:
- giocandoci con carta e matita o lavagna e gessetto (esistono ancora?)
- facendo un programmino per computer (oggi si chiama app)
- facendo un ragionamento matematico
Il ragionamento più semplice potrebbe essere questo:
- all’inizio la somma di tutti i numeri scritti alla lavagna è 55;
- a ogni passaggio addiziono due numeri e sottraggo una unità, perciò la somma di tutti i numeri scritti diminuisce di 1;
- il gioco termina dopo 9 passaggi, perciò ho sottratto 9 unità dal totale iniziale: 55 – 9 = 46;
- poiché l’addizione è commutativa, il risultato finale non dipende dall’ordine dei numeri scelti, perciò è sempre lo stesso.
