Seconda puntata: l'esercizio alla lavagna
Nella precedente puntata abbiamo esaminato questo dipinto di Bogdanov-Belski che illustra una lezione di matematica del professor Rachinsky.
Nicolai Petrovich Bogdanov Belski (1868-1945) Aritmetica mentale nella scuola di Rachinski (1895). Credit: Wikipedia
Alla scuola di Rachinsky, insieme all’aritmetica e alla grammatica, si studiavano la religione ortodossa, la lingua slava della Chiesa, la pittura delle icone e la musica. Le ragazze imparavano il ricamo e i ragazzi la falegnameria. A scuola c’era un orto, dove i bambini non solo lavoravano, ma studiavano le basi dell’agricoltura, dell’allevamento e dell’apicoltura.
Ma veniamo all’argomento di questa puntata, che è l’esercizio scritto alla lavagna.
«Poiché non si distingue bene la scritta, vi riporto il calcolo mentale che il professore aveva posto ai suoi alunni:
Vi dico che il risultato è 2 e sta a voi scoprire quale proprietà di questi numeri si possa utilizzare per risolvere il calcolo a mente.
E poi, se volessimo generalizzare… sarà questa l’unica successione di 5 termini consecutivi che godono della stessa proprietà?»
Ringrazio Mathmum per aver inviato questo interessante messaggio al Forum di BASE Cinque!
Risposte e riflessioni
Questo problema ha suscitato una lunga discussione con tanti messaggi davvero interessanti.
Qui vi propongo in sintesi due soluzioni: una intuitiva e una più analitica.
1. Soluzione intuitiva, basata sul calcolo mentale
Conosciamo a mente i quadrati degli interi da 10 a 20, perciò scomponiamo, sempre mentalmente, la somma al numeratore così:
100 + 121 + 144 + 169 + 196 = 500 + (21 + 69) + (44 + 96) = 730
Osserviamo immediatamente che 730 è il doppio di 365, perciò concludiamo che il numero cercato è 2.
2. Soluzione analitica, basata sulle proprietà dei quadrati
Usando la proprietà che n2 è la somma dei primi n numeri dispari e partendo dal fatto che:
102 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19
ricaviamo facilmente l’uguaglianza:
102 + 112 + 122 = 132 + 142
Ora osserviamo che:
102 + 112 + 122 = 100 + 121 + 144 = 365
e concludiamo che il numero cercato è 2.
Possiamo chiederci: è questa l’unica successione di 5 interi consecutivi, tale che la somma dei quadrati dei primi 3 è uguale alla somma dei quadrati degli ultimi 2?
In realtà esiste anche un’altra quintupla.
Come fareste per trovarla?
Nella prossima puntata...
Gli esercizi di matematica che Sergey Rachinsky assegnava ai suoi alunni sono raccolti nel libro 1001 sfide di calcolo mentale, ristampato nel 2017.
La prossima puntata sarà dedicata proprio a questo libro.
Cari amici, sono sicuro che troverete molti spunti interessanti!
Pace e bene a tutti!
Gianfranco Bo
