Pace e bene a tutti. Questo, secondo me, è l’augurio migliore che si possa fare, rinnovato ogni giorno dell’anno.
Prima che finisca gennaio, vi propongo alcuni esercizi augurali per l’anno nuovo. Ciascuno di essi può essere un piccolo spunto per approfondire un argomento di matematica: dai sistemi di numerazione alla storia della matematica, dalla teoria dei numeri al calendario e così via.
1. Un labirinto augurale
Attraversate mentalmente questo labirinto superando tutte le difficoltà.
Utile il riepilogo finale, prima di passare all’anno successivo.

2. Buon anno matematico
Come scrivevano il numero 2020 i matematici Ahmes (scriba egizio), Pitagora, Alcuino da York, Fibonacci, Leonardo da Vinci ed Eulero?


Il sistema di numerazione egizio era additivo: 1000 + 1000 + 10 + 10


I greci usavano le lettere dell’alfabeto anche come numerali: 2000 + 20


Ai tempi di Alcuino da York anche i matematici usavano i numeri romani.


Leonardo Pisano detto Fibonacci fu il primo matematico a introdurre i “numeri arabi” o indiani.


Leonardo da Vinci scriveva le lettere e i numeri da destra verso sinistra come se fossero riflessi in uno specchio. Questa tecnica si chiama scrittura speculare.


è una sorprendente uguaglianza scoperta da Euler che coinvolge 5 numeri fondamentali: 0, 1, i, e, π.
3. Ottenere i numeri da 0 a 10 (e oltre)
Niente po’ po’ di meno che il NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) propone ogni anno The Year Game, il gioco dell’anno.
Il gioco consiste nell’ottenere tutti i numeri da 0 a 100 usando le cifre dell’anno in corso e le usuali operazioni aritmetiche, compresi l’elevamento a potenza, la radice e il fattoriale.
Qui vi propongo di limitarvi ai numeri da 0 a 10 ma di usare solo il calcolo mentale.
Per esempio:
0 = 20 – 20
1 = …
2 = …
…
21 = 20 + 20
4. Un numero autobiografico
La definizione ufficiale di autobiographical number è la seguente.
Definizione. Un numero autobiografico è un numero che parla di se stesso con le proprie cifre: la prima cifra dice quanti zero ci sono nel numero, la seconda cifra quanti uno, la terza cifra quanti due e così via.
Il 2020 è un numero autobiografico perché è formato da 2 “zero”, 0 “uno”, 2 “due” e 0 “tre”.
a) Qual è il primo anno dopo Cristo che si esprime con un numero autobiografico?
b) Quale avvenimento fondamentale per il mondo cristiano avvenne in quell’anno?
c) La definizione di numero autobiografico però è poco convincente. Perché?
5. Il calendario di gennaio 2020
Il calendario del 2020 è uguale a quello del 1992.
Come si spiega?
Ma non è proprio uguale.
Quali differenze notate? Come si spiegano?

6. Classico olimpico facile
Nelle olimpiadi della matematica c’è sempre qualche esercizio in cui compare il numero dell’anno in corso. Un esercizio facile potrebbe essere questo.
Qual è il più piccolo intero più grande di…
???
7. Classico olimpico difficile
Un altro argomento tipico delle olimpiadi è l’aritmetica modulare.
Qual è il resto della divisione:
???
8. Il solito rebus
Un augurio in gramelot inglese.
Frase: 5, 3, 4

9. La domanda del decennio
Con il primo gennaio del 2020 inizia il secondo decennio del 2000. Vero o falso?
10. Un po' di chimica impertinente
Infine, un esercizio che ho trovato in un noto social network per vecchietti.
Nella tavola periodica degli elementi, l’elemento chimico n. 20 è il Calcio (Ca).
L’elemento chimico n. 19 invece è il Potassio (K).

Possiamo dire scherzosamente che l’anno 2019 è stato un anno di CaK.
Con la stessa logica, che tipo di anno sarà il 2020?
Alcune soluzioni
1. Un labirinto augurale
La risoluzione è lasciata al lettore.
2. Buon anno matematico
Le “soluzioni” sono già date nell’esercizio stesso.
3. Ottenere i numeri da 0 a 10
Si possono inventare molte espressioni, ecco alcuni esempi.
0 = 20 – 20
1 = 20 : 20
2 = 2 + 0 + 2 ∙ 0
3 = 2 + 0 + 20
4 = 2 + 0 + 2 + 0
5 = 2 + 0! + 2 + 0 (0! = 1)
6 = 2 + 0! + 2 + 0!
7 = (2 + 0!)! + 20
8 = (2 + 0!)! + 2 + 0
9 = (2 + 0!)! + 2 + 0!
10 = 20 : 2 +0
4. Un numero autobiografico
a) L’anno è stato il 1210 d. C.
b) In quell’anno Francesco d’Assisi ricevette l’approvazione di papa Innocenzo III per il suo Ordo fratum minorum, fondando così l’Ordine francescano.
c) Nella definizione ci sono diverse difficoltà, per esempio:
1) Prima di definire il concetto di auto-biografia si dovrebbe definire cos’è la biografia di un numero. Cioè cosa si intende per “numero che è la biografia di un altro numero”.
2) Se un numero non contiene lo zero, la sua biografia comincia per zero ma in matematica non si scrivono numeri naturali che iniziano per zero. Per esempio, la “biografia” di 12 dovrebbe essere: 011.
3) Se un numero contiene una cifra ripetuta più di 10 volte, come si fa a scrivere la sua biografia?
5. Il calendario di gennaio 2020
Una risposta matematica brevissima potrebbe essere questa.
1) Osserviamo che il 1992 e il 2020 sono entrambi anni bisestili. Ricordiamo che anche il 2000 è stato bisestile.
2) Dal 1 gennaio 1992 al 31 dicembre 2019 sono passati 28 anni di cui 7 bisestili, per un totale di giorni:
3) Il numero 10227 è divisibile per 7, perciò il primo giorno del 2020 è lo stesso giorno della settimana del 1 gennaio 1992.
4) Ne discende che i calendari del 1992 e del 2020 sono uguali. A parte le fasi lunari. Ma questa è una storia più complicata.
Nota. Se volete approfondire questo argomento, c’è un bel post di spiegazione nella community Natura e Matematica su Facebook.
6. Classico olimpico facile
5, il calcolo è lasciato al lettore.
7. Classico olimpico difficile
Per risolvere il problema bisogna usare un po’ di aritmetica modulare.
Ci sono diversi procedimenti possibili. Eccone uno, in traccia.
1) Semplifichiamo, dividendo per 20:
se
allora
2) Con un calcolo a mano molto veloce si trova che:
3) Perciò:
(calcolo a mano veloce)
4) In conclusione
8. Il solito rebus
Hap-pi gnu ear
Happy new year
9. La domanda del decennio
Gli anni – come pure i decenni, i secoli e i millenni – si contano con i numeri ordinali: primo, secondo, terzo, ecc. Non esiste l’anno zero, né il secolo zero ecc.
Perciò i decenni iniziano col numero 1 incluso e terminano col numero 10 incluso. Il 2020 è l’ultimo anno del secondo decennio del 2000. Il 1 gennaio 2021 sarà il primo giorno del terzo decennio.
Ma questa risposta si può discutere.
10. Un po’ di chimica impertinente
No comment.