Cari amici, colleghi, genitori, vi propongo alcune attività di matematica da consigliare ai vostri ragazzi e, se vi piace, da svolgere voi stessi in famiglia.
In ricordo di questa estate 2020, possiamo considerarlo un compito per le vacanze all’insegna della ripartenza dopo il lungo periodo di chiusura mondiale dovuto alla pandemia di Covid-19.
Tuttavia, a scuola, queste attività si possono svolgere in qualunque periodo dell’anno.
Cosa serve?
- Materiale e attrezzatura: cartoncino colorato, compasso, righello, forbici. Fotocopiatrice o stampante sono facoltative.
- Abilità di base: usare il compasso e la riga, tagliare con le forbici, riconoscere le forme geometriche.
- Conoscenze matematiche: solo per i problemi più impegnativi bisogna conoscere le proprietà della circonferenza, del cerchio, dei triangoli e il teorema di Pitagora.
- Conoscenze di biologia: alcune domande danno lo spunto per approfondire argomenti legati all’evoluzione, alla riproduzione degli animali, alle specie di uccelli, al DNA.
1. Il compito principale: liberare l'immaginazione
Fotocopiate la seguente immagine su un cartoncino colorato e ritagliatela in 9 pezzi seguendo le linee.
Usate i pezzi per costruire le figure più disparate: uccelli e altri animali, persone, astronavi, forme astratte e così via. Per ogni costruzione bisogna usare tutti i 9 pezzi.
Quante soluzioni interessanti riuscite a trovare?
Avevo assegnato questo compito ai miei alunni anni fa ma purtroppo, durante un trasloco scolastico, si sono persi i loro lavori e mi piacerebbe ricostruirli col vostro aiuto. Se vorrete inviarmi le foto delle vostre costruzioni, saranno graditissime!
2. Ritagliando s'impara
Secondo me, anche i concetti matematici più astratti si imparano con tutto il corpo, non solo con il cervello e con i sensi più commercializzati oggi cioè la vista e l’udito. Per esempio quando usiamo il cervello, gli occhi, i muscoli e un paio di forbici per tagliare un foglio di carta possiamo conoscere meglio i concetti di linea retta, linea curva, circonferenza.
Prima di tutto ritagliate il contorno dell’ovolo. Cominciate dalla semicirconferenza. Concentratevi sul compito, cercate di mantenere la lama della forbice sempre lungo la tangente alla linea da tagliare. Tenete costantemente sotto controllo i muscoli delle mani. Prendete coscienza delle difficoltà tecniche e cercate di migliorare ogni volta.
Poi ritagliate lungo le linee rette. Cercate di mantenere la lama della forbice sempre sul prolungamento della linea da tagliare.
È importante ripetere questi esercizi più volte per diventare bravi.
Costruite le vostre forme geometriche usando tutti i 9 pezzi. Quando avete ottenuto una figura che vi piace, incollate i pezzi a un foglio di carta e datele un nome.
3. Un po' di geometria con riga e compasso: come si disegna un ovolo?
Potete costruirvi il Tangram ovale anche se non avete né un computer né una stampante né una fotocopiatrice. Bastano un foglio di cartoncino, una riga e un compasso.
Seguite le istruzioni.
Punto 1
- Tracciate due assi perpendicolari che si intersecano nel punto O.
- Tracciate una circonferenza di centro O che interseca gli assi nei punti A, D, B, C.
- Tracciate i segmenti AC e BC e prolungateli dalla parte di C.
Punto 2
- Puntate il compasso su A, con raggio AB e tracciate l’arco BF.
- Puntate il compasso su B, con raggio BA e tracciate l’arco AE.
Punto 3
- Puntate il compasso su C, con raggio CF e tracciate l’arco di circonferenza EF.
Punto 4
- Ripassate con un tratto più spesso gli archi AB, BF, FE, EA.
L’ovolo ha un asse di simmetria verticale.
L’ovolo che si ottiene è bello anche perché è formato da archi di circonferenza ben raccordati l’uno con l’altro.
Cosa significa “raccordati”?
Significa che nel punto in cui si incontrano due archi di due circonferenze diverse, le due circonferenze hanno la stessa tangente.
Osservate come si raccordano gli archi nei punti A, B, E, F.
4. Come si disegna questa dissezione?
Una dissezione di una figura geometrica piana è una sua divisione in parti per mezzo di linee rette. Tali parti si possono poi riorganizzare, senza sovrapposizioni, in vari modi per ottenere moltissime figure diverse, tutte equivalenti per dissezione alla figura iniziale e aventi la stessa area.
Ecco come ottenere la nostra dissezione dell’ovolo.
- Tracciate i segmenti EH, FK, perpendicolari al diametro AB.
- Tracciate KM parallelo ad AF.
- Tracciate HM parallelo a BE.
- Da notare che: BK=KM=MD=CF.
4. Un esercizio rilassante: cercare simmetrie e forme astratte
A me piace questa spirale.
Ecco la forma simmetrica che abbiamo visto prima.
E una persona.
5. Un problema geometrico
Come si può dimostrare che la forma ottenuta con i tre pezzi A, B, C del Tangram ovale è simmetrica?
Qui vi do un suggerimento, la soluzione è in fondo agli esercizi. Assegnate lunghezza 1 al segmento indicato nella figura e trovate le lunghezze di tutti gli altri segmenti del Tangram ovale. Usate ragionamenti geometrici intuitivi, potete “saltare” le dimostrazioni rigorose.
6. Qualche domanda numerica sulla dissezione dell'ovolo
Sapendo la misura del diametro, per esempio AB=10 cm:
1. Calcolate le misure di tutti gli angoli della dissezione.
2. Calcolate l’area e il perimetro dell’ovolo.
7. Geometria e natura
Con il Tangram ovale si riescono a ottenere forme di uccelli molto realistiche. Poco più avanti troverete un centinaio di esempi.
Scegliete alcune costruzioni e provate a identificare l’uccello che rappresentano. Se necessario, potete modificarle a vostro piacere.
Ecco tre esempi.
8. Risolvete il paradosso dell'uovo e della gallina (o del DNA e delle proteine)
Il paradosso dell’uovo e della gallina si esprime con la domanda: è nato prima l’uovo o la gallina?
Alberto risponde: “Ogni gallina esce da un uovo, perciò è nato prima l’uovo.”
Beatrice risponde: “Ma chi ha fatto quell’uovo? Una gallina! Perciò è nata prima la gallina.”
Alberto replica: “Ma da dove è uscita quella gallina? Da un uovo, perciò è nato prima l’uovo.”
E Beatrice: “Ma chi à fatto quell’uovo? …”
La discussione potrebbe continuare all’infinito senza mai giungere a un accordo.
- Secondo voi chi ha ragione: Alberto o Beatrice?
- In quali casi si usa questo paradosso? E cosa significa?
- Una domanda più difficile: in natura, la formazione delle proteine dipende dal DNA, ma il DNA non si può formare senza una proteina preesistente.
Allora: è nato prima il DNA o le proteine?
Questa domanda 3 è tratta dal libro: Marco Pizzuti, Evoluzione non autorizzata, 2016, Edizioni Il punto d’incontro.
9. A occhi chiusi
Un ultimo consiglio: se vi capita di trovare un Tangram ovale di legno non esitate a comprarlo. Costa pochi euro e vi darà grandi soddisfazioni!
Provate a risolverlo a occhi chiusi, usando soltanto il senso del tatto.
Soluzione dell'esercizio 5. Un problema geometrico
Nota storica
La seguente nota storica e le relative immagini sono dovute interamente a Dario Uri e riprodotte con il suo consenso. Grazie Dario!
Questo gioco è uno dei 36 Tangram-derivati prodotti dalla Anker di Adolph Richter tra il 1891 e il 1918. Costruiti in un macinato minerale pressato (caolino).
Richter acquisì il brevetto di Otto Lilienthal, un pioniere dell’areonautica che lo aveva inventato. Sotto la spinta di Friedrich Fröbel, l’educatore ideatore dei “Giardini d’Infanzia”, Richter sviluppò questi giochi educativi.
L’ “Uovo di Colombo” è uno dei primi, classificato col numero 3, e fu presentato alla Esposizione di Chicago nel 1893 per celebrare il 400esimo anniversario della scoperta dell’America. La confezione cambiava aspetto a seconda delle aree di vendita, una scatola di cm 8×10 in cromolitografia corredata da un libretto con 124 figure. Nel mio piccolo museo ne ho 4 esemplari.
Immagini: per gentile concessione di Dario Uri
Ecco qualche dettaglio in più.
Questa forma a uovo è l’unica dei 36 tipi di scatoline prodotte a essere oggetto di due edizioni, 1893 (num.3) e 1912 (num.16).
La Anker (in tutti i giochi c’è la figura di un’ancora) segnava le scatole con una piccola sigla che ci permette di risalire alla data, alla zona di distribuzione e alla quantità: le zone di distribuzione erano 2, contrassegnate con: “int” = Germania, Francia, Olanda, Danimarca, Inghilterra e Stati Uniti. Oppure “CE”: Austria, Cecoslovacchia, Ungheria, Polonia e Italia. Un numerino di tre o quattro cifre indicava Anno (prime due cifre) e Mese. Una piccola cifra vicino alle lettere indicava la quantità prodotta in quell’anno x1000. Il nome dell’oggetto era stampato sulla scatola e sul libricino incluso, nelle lingue della zona di vendita. Nel libricino della seconda edizione, che metto come esempio si vede “122 Int. 5” e si legge: 1912 febbraio, 5000 pezzi prodotti in quell’anno.
Il titolo è nelle lingue di quella zona: Wunder-Ei, Wonderei, L’Oeuf magique, Magic Egg, Vidunder AEgget.
Nella scatolina della prima edizione si vede “123 Int 4” e si legge 1912 Marzo 4000 pezzi, con i titoli: Ei des Columbus, Columbian Puzzle, L’Oeuf de Colomb, Ei van Colombus, Columbus AEg.
Immagini: per gentile concessione di Dario Uri
Il libretto della prima edizione contiene 111 figure, quello del 1912 ne contiene 108, fondamentalmente diverse dalle altre.
Le due pagine con le figure sono tratte da Jerry Slocum e Dieter Gebhardt, The Anchor Puzzle Book.
I contenuti di questo articolo sono tratti dal sito BASE Cinque, appunti di Matematica ricreativa, dello stesso autore
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Pace e bene a tutti!
