I quattro 4
Roberto ha dimostrato come si possono usare quattro 4, le operazioni aritmetiche e le parentesi per ottenere 20.
Utilizzando quattro 4, i segni delle quattro operazioni ed eventualmente le parentesi, sei capace di ottenere tutti i numeri interi da 0 a 10?
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Variazioni sul tema
1) I quattro 1
Roby dice a Gianni: “Io sono capace di sistemare quattro 1 e alcune operazioni aritmetiche in modo da ottenere esattamente 12.”
Tu sei capace?
Nicolas Pike, A New and Complete System of Arithmetic, composed for the Use of the Citizens of the United States, 1788.
2) I quattro 3
Greta dice a sua sorella Chiara: “Io sono capace di sistemare quattro 3 e alcune operazioni aritmetiche in modo da ottenere esattamente 34.”
Tu sei capace di fare altrettanto?
Thomas Dilworth, Schoolmaster’s Assistant, 1743.
3) I quattro 5
Esprimere 6,5 con quattro 5.
4) I quattro 9
Esprimere 100 con quattro 9.
5) I tre 3
Esprimere tutte le cifre del sistema decimale usando tre 3.
Sono ammesse le quattro operazioni, l’elevamento a potenza, l’estrazione di radice e le parentesi.
6) Le nove cifre danno 100
Inserire segni matematici nella sequenza:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
in modo da ottenere 100.
7) Le nove cifre danno ancora 100
Inserire segni matematici nella sequenza:
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
in modo da ottenere 100.
8) Il più grande numero che si può ottenere con quattro 1
Il numero 1 non si può certo considerare un numero grande, eppure…
Qual è il più grande numero che si può ottenere con quattro 1 e le operazioni aritmetiche?
9) Formare 2 euro con 20 monete
Usando soltanto monete da 50 centesimi, 20 centesimi e 5 centesimi è possibile formare 2 euro con 20 monete?
E 4 Euro?
10) Sempre 1
Inserisci negli spazi fra le cifre il segno opportuno di operazione aritmetica in modo che il risultato di ciascuna riga sia 1.
È permesso usare le parentesi.
Esempio: (1 + 2) : 3 = 1
1 2 3 4 = 1
1 2 3 4 5 = 1
1 2 3 4 5 6 = 1
1 2 3 4 5 6 7 = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1
11) I cinque 5
Giulia ha dimostrato come si possono usare cinque 5, le operazioni aritmetiche e le parentesi per ottenere 27.
Utilizzando cinque 5, i segni delle quattro operazioni ed eventualmente le parentesi, sei capace di ottenere tutti i numeri interi da 0 a 10?
Soluzioni
1) I quattro 4
0 = 4 + 4 – 4 – 4
1 = 44 : 44
2 = 4 : 4 + 4 : 4
3 = (4 + 4 + 4) : 4
4 = (4 – 4) × 4 + 4
5 = (4 × 4 + 4) : 4
6 = (4 + 4) : 4 + 4
7 = 4 + 4 – 4 : 4
8 = 4 + 4 + 4 – 4
9 = 4 + 4 + 4 : 4
2) I quattro 1
1 × 1 + 11 = 12
3) I quattro 3
33 + 3 : 3 = 34
4) I quattro 5
5,5 + 5 : 5 = 6,5
5) I quattro 9
99 + 9 : 9
6) I tre 3
In questo caso usiamo anche il fattoriale: 3! = 3 × 2 = 6.
0 = 3! – 3 – 3
1 = 3! : (3 + 3)
2 = 3 – 3 : 3
3 = 3 – 3 + 3
4 = 3 + 3 : 3
5 = 3! – 3 : 3
6 = 3! + 3 – 3
7 = 3! + 3 : 3
8 = 3! + 3! : 3
9 = 3 + 3 + 3
7) Le nove cifre danno 100
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 × 9
8) Le nove cifre danno ancora 100
9 × 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0
9) Formare 2 euro con 20 monete (da 50, 20, 5 centesimi)
2 € impossibile.
4 € ha 7 soluzioni: (0,20,0), (1,17,2), (2,14,4), …
10) Sempre 1
1 × 2 + 3 – 4 = 1
1 – 2 + 3 + 4 – 5 = 1
1 × [2 – (3 – 4) × (5 – 6)] = 1
(1 + 2) : [3 × (4 – 5) × (6 – 7)] = 1
1 × [2+ (3 – 4) × (5 – 6) × (7 – 8)] = 1
1 × (2 – 3) × (4 – 5) × (6 – 7) × (8 – 9) = 1
11) I cinque 5
0 = (5 + 5 – 5 – 5) × 5
1 = (5 + 5 × 5) : 5 – 5
2 = 5 – (5 + 5 + 5) : 5
3 = 5 – 5 : 5 – 5 : 5
4 = 5 – 55 : 55
5 = 5 – 5 + 5 – 5 + 5
6 = 5 + 55 : 55
7 = 5 + 5 : 5 + 5 : 5
8 = 5 +(5 + 5 + 5) : 5
9 = (5 × 5 – 5) : 5 + 5
Per approfondire
Operazioni ammesse
Nei newsgroup di matematica ricreativa si è formato a poco a poco un sistema di regole ammesse per risolvere problemi di questo tipo.
Sono ammesse le seguenti operazioni e funzioni matematiche: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, estrazione di radice quadrata, elevamento a potenza, fattoriale.
È inoltre possibile utilizzare le notazioni:
- uso di qualunque livello di parentesi;
- il punto decimale come nelle calcolatrici, per esempio: ;
- periodico, per esempio: periodico;
- ROOT(n,m) per indicare la radice n-esima di m; in questo caso m, n devono essere numeri ammessi dal gioco;
- SQRT(n) o SQRT n per indicare la radice quadrata di n, per esempio:
Non è ammesso l’uso del logaritmo perché in tal caso sarebbe possibile ottenere qualsiasi numero e allora non ci sarebbe più da divertirsi!
Esempi:
- 4 x (4 : √4 + 4) = 24 (uso della radice quadrata)
- 4! + 4 + 4 : 4 = 29 (uso del fattoriale)
- 4 : .4 = 10 (uso del punto decimale)
- 4 : .(4) = 9 (uso della notazione per numero periodico)
- (44 + 4) : 4 = 65 (uso dell’elevamento a potenza)
Generalizzazione
Esprimere un numero intero usando quattro n
Thomas Rayner Dawson, nel 1916, fu (forse) il primo a porre il problema dei quattro 4 in termini più generali.
È possibile, utilizzando quattro n (n è una variabile che sta per un numero naturale qualsiasi) e le operazioni aritmetiche, esprimere tutte le cifre del sistema decimale?
Per esempio:
0 = n + n – n – n
1 = n : n + n – n
2 = n : n + n : n
3 = (n + n + n) : n
…
9 = n : .n – n : n
10 = n : .n + n – n
Il problema rimane aperto per le soluzioni mancanti.
The Year Game
The Year Game è una sfida posta ogni anno sul sito The Math Forum.
Bisogna esprimere i numeri da 1 a 100 usando le cifre dell’anno in corso e le comuni operazioni/funzioni aritmetiche.
Our rules: use the digits in the year 2019 and the operations +, -, ×, ÷, ^ (raised to a power), sqrt (square root), and ! (factorial), along with grouping symbols, to write expressions for the counting numbers 1 through 100. This year we will also allow the use of decimal points and double-digit numbers.
Chiunque può partecipare.
Malba Tahan
Il problema dei quattro quattro si trova anche nel bellissimo libro di Malba Tahan, L’uomo che sapeva contare, Salani Editore, 1996.
Note didattiche
- Presentare il problema proponendo dapprima qualche caso singolo per definire le regole.
Per esempio:
a) Ottenere 34 usando quattro 3: 34 = 3 : 3 + 33 (si possono unire due cifre per formare un numero).
b) Ottenere 50 usando tre 5: 50 = (5 + 5) × 5 (uso delle parentesi)
c) Ottenere 72 usando quattro 6: 72 = 6 × 6 + 6 × 6 (precedenza tra operazioni)
- Chiedere ai ragazzi di inventare nuovi problemi di questo tipo.
